2.40

Умова

2.40

Оцінити середню довжину вільного пробігу $\lambda$ і час $\tau$ між двома зіткненнями для:

• а) молекул водню за нормальних умов;
• б) протонів космічних променів у Галактиці.

Вважати, що середня густина міжзоряного газу $10^4\frac{частинок}{{м}^3}$. Швидкість космічних частинок близька до швидкості світла. Маса протона практично дорівнює масі атома водню. Радіус протона $r\sim 10^{-13}см$.

Посилання на оригінал

Розв’язання

Середня довжина вільного пробігу частинки:

$$\begin{array}{rl}& ⟨\lambda ⟩=\frac{1}{4\sqrt{2}\pi r^{2}n}\end{array}$$

а)

1. Концентрація молекул водню з рівняння ідеального газу:

$$\begin{array}{rl}& n_{H_2}=\frac{p_0{N}_A}{R{T}_0}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& n_{H_2}=2.5\cdot 10^{-2}\frac{1}{n{m}^3}=2.5\cdot 10^{25}{m}^{-3}\end{array}$$

2. Тоді середня довжина вільного пробігу молекули водню:

$$\begin{array}{rl}& ⟨{\lambda }_{H_2}⟩=1.56nm\end{array}$$

3. Середній час між двома зіткенннями:

$$\begin{array}{rl}& \tau =\frac{⟨{\lambda }_{H_2}⟩}{⟨v_{H_2}⟩}=⟨{\lambda }_{H_2}⟩\cdot \sqrt{\frac{\pi \mu }{8RT}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& {\tau }_{H_2}=8.86\cdot 10^{-13}s\end{array}$$

б)

1. Порахуємо середню довжину вільного пробігу:

$$\begin{array}{rl}& ⟨\lambda ⟩=5.62\cdot 10^{24}m\end{array}$$

2. Середній час між двома зіткненнями:

$$\begin{array}{rl}& \tau =\frac{⟨\lambda ⟩}{c}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \tau =1.87\cdot 10^{16}s\approx 6\cdot 10^{8}years\end{array}$$

Відповідь

а) $\lambda =1.56nm,\tau =8.86\cdot 10^{-13}s$

б) $\lambda =5.62\cdot 10^{24}m,\tau =6\cdot 10^{8}years$