2.39

Умова

2.39

Температура газу змінюється з висотою h за закономірністю $T=T_0(1-\beta h)$, де $\beta$ — постійна величина. Знайти закон зміни з висотою тиску $p$ і густини $\rho$ газу. При $h=0$ тиск газу $p_0$ . Молярна маса газу $M$.

Посилання на оригінал

Розв’язання

Ми обмежені умовою $h<\frac{1}{\beta }$, адже $T>0$

1. Зміна тиску з висотою виражається законом:

$$\begin{array}{rl}& dp=-\rho gdh\end{array}$$

2. З рівняння ідеального газу:

$$\begin{array}{rl}& p=\frac{\rho }{\mu }RT\to \rho =\frac{p\mu }{RT}\end{array}$$

3. Таким чином, зміна тиску:

$$\begin{array}{rl}& dp=-\frac{p\mu g}{RT}dh\\ & \\ & \frac{dp}{p}=-\frac{\mu gdh}{R{T}_0(1-\beta h)}\end{array}$$

4. Інтегруємо:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{p_0}^p\frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{R{T}_0}{\int }_0^h\frac{dh}{1-\beta h}\\ & \\ & \ln \frac{p}{p_0}=\ln (1-\beta h{)}^{\mu g/\beta R{T}_0}\end{array}$$

5. Таким чином, тиск і густина:

$$\begin{array}{rl}& p=p_0(1-\beta h{)}^{\mu g/\beta R{T}_0}\\ & \\ & \rho =\frac{p_0\mu }{R{T}_0(1-\beta h)}(1-\beta h{)}^{\mu g/\beta R{T}_0}=\frac{p_0\mu }{R{T}_0}(1-\beta h{)}^{(\mu g/\beta R{T}_0)-1}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& p=p_0(1-\beta h{)}^{\mu g/\beta R{T}_0}\\ & \\ & \rho =\frac{p_0\mu }{R{T}_0}(1-\beta h{)}^{(\mu g/\beta R{T}_0)-1}\end{array}$$