1.439

Умова

1.439

За скільки часу звукові коливання пройдуть відстань $l$ між точками $A$ і $В$, якщо температура повітря між ними змінюється лінійно від $T_1$ до $T_2$?

Швидкість звуку в газі $v=\alpha \sqrt{T}$ , де $\alpha$ — постійна.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Оскільки температура змінюється лінійно, то

$$\begin{array}{rl}& T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{l}x,[0<x<l]\end{array}$$

2. Звідси

$$\begin{array}{rl}& dT=\left(\frac{T_2-T_1}{l}\right)dx\end{array}$$

3. Для подолання інфінітизимальної відстані $dx$ буде витрачено час

$$\begin{array}{rl}& dt=\frac{dx}{\alpha \sqrt{T}}=\frac{ldT}{\alpha \sqrt{T}(T_2-T_1)}=\frac{l}{\alpha (T_2-T_1)}\cdot \frac{dt}{\sqrt{T}}\end{array}$$

4. Таким чином, час, за який звукові коливання пройдуть відстань $l$:

$$\begin{array}{rl}& t=\frac{l}{\alpha (T_2-T_1)}{\int }_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{\sqrt{T}}=\frac{2l(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}{\alpha (T_2-T_1)}=\frac{2l}{\alpha (\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2})}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& t=\frac{2l}{\alpha (\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2})}\end{array}$$