2.67

Умова

2.67

У вертикальному циліндрі під поршнем маси $m$ і площі $S$ міститься $1кмоль$ деякого газу. Спочатку тиск газу на поршень урівноважується вагою поршня й атмосферним тиском $p_0$. Потім, діючи на поршень ззовні, висувають його з циліндра настільки повільно, що температура газу $T$ у циліндрі залишається практично постійною.

Завдання

Знайти роботу $A^{\prime }$, витрачену:

• а) при піднятті поршня на висоту $h$;
• б) при збільшенні об’єму газу вдвічі.

Тертя поршня об стінки циліндра не враховувати.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. В обох випадках робота буде виконуватись і складатись з доданків:
   • підняття поршня маси $m$
   • протидія атмосферному тиску на поршень площі $S$
   • власне розширення газу

$$\begin{array}{rl}& pV=\nu RT\\ & \\ & h_1=\frac{\nu RT}{mg+p_{0}S}\end{array}$$

2. Тоді робота розширення газу становитиме:

$$\begin{array}{rl}& A_{роз}=\nu RT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\nu RT\ln \left(\frac{h_2}{h_1}\right)\end{array}$$

3. Таким чином, робота, витрачена на підняття поршня на висоту $h$:

$$\begin{array}{rl}a)h_2& =h_1+h\\ A_a^{\prime }& =(mg+p_{0}S)h-\nu RT\ln \left(1+\frac{h}{h_1}\right)=\\ & =(mg+p_{0}S)h-\nu RT\ln \left(1+\frac{(mg+p_{0}S)h}{\nu RT}\right)\\ & \\ b)h_2& =2h_1\\ A_b^{\prime }& =(mg+p_{0}S)h_1-\nu RT\ln 2=\nu RT(1-\ln 2)=\\ & =0.31\nu RT\end{array}$$

Відповідь

а) $A^{\prime }=(mg+p_{0}S)h-\nu RT\ln \left(1+\frac{(mg+p_{0}S)h}{\nu RT}\right)$

б) $A^{\prime }=0.31\nu RT$