2.26

Умова

2.26

За якого значення швидкості $v$ перетинаються криві розподілу Максвелла для температур $T_1$ та $T_2=2T_1$?

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Функція розподілу за модулями швидкостей молекул:

$$\begin{array}{rl}& F(v)=4\pi v^2{\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m_0{v}^2}{2kT}\right)\end{array}$$

2. Тоді для температур $T_1$ та $T_2=2T_1$:

$$\begin{array}{rl}& F_1(v)=F_2(v)\\ & \\ & \frac{v^2}{T_1^{3/2}}\cdot \exp \left[-\frac{m_0{v}^2}{2k{T}_1}\right]=\frac{v^2}{T_2^{3/2}}\cdot \exp \left[-\frac{m_0{v}^2}{2k{T}_2}\right]\\ & \\ & \exp \left[\frac{m_0{v}^2}{2k{T}_1}-\frac{m_0{v}^2}{4k{T}_1}\right]=2\sqrt{2}\\ & \\ & \frac{m_0{v}^2}{4k{T}_1}=\ln 2\sqrt{2}\\ & \\ & v_i=\sqrt{\frac{6k{T}_1\ln 2}{m_0}}\end{array}$$

3. Крім того, криві перетинаються при $v_i=0$

Відповідь

$v_i=\sqrt{\frac{6k{T}_1\ln 2}{m_0}},v_i=0$