2.37

Умова

2.37

Обчислити, який відсоток молекул газу, що перебувають у полі тяжіння Землі, має потенційну енергію ${\epsilon }_p$ більшу, ніж їхня середня кінетична енергія поступального руху. Вважати, що температура газу і прискорення сили тяжіння не залежать від висоти.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Середня кінетична енергія поступального руху:

$$\begin{array}{rl}& ⟨E⟩=\frac{3}{2}kT\end{array}$$

2. Більшу енергію мають молекули, для яких виконується нерівність:

$$\begin{array}{rl}& \frac{m_0{v}^2}{2}>\frac{3}{2}kT,\to v>\sqrt{\frac{3RT}{\mu }}\\ & \\ & -\frac{\mu }{2RT}=\alpha ,\sqrt{\frac{3RT}{\mu }}=\beta \end{array}$$

3. Частка молекул з більшою енергією:

$$\begin{array}{rl}& \eta =\frac{N_{>v}}{N_{}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& F(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi }}\cdot {\left(\frac{\mu }{2RT}\right)}^{3/2}{v}^2\cdot e^{-\mu v^2/2RT}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \eta =\frac{N(v)}{N}={\int }_{\beta }^{\infty }F(v)dv=\frac{4}{\sqrt{\pi }}(-\alpha {)}^{3/2}{\int }_{\beta }^{\infty }{v}^2{e}^{\alpha v^2}dv=\\ & \\ & =\frac{4}{\sqrt{\pi }}(-\alpha {)}^{3/2}\cdot \left(-\frac{2\alpha \beta e^{\alpha {\beta }^2}+\sqrt{-\pi \alpha }\cdot \mathrm{erfc}(\sqrt{-\alpha }\beta )}{4{\alpha }^2}\right)=\\ & \\ & =\frac{2}{\sqrt{-\pi \alpha }}(\alpha \beta e^{\alpha {\beta }^2}-\sqrt{-\pi \alpha }\cdot \mathrm{erfc}(\sqrt{-\alpha }\beta ))=\\ & =\frac{2}{\sqrt{-\pi \alpha }}\cdot \left(\sqrt{\frac{-3\alpha }{2}}\cdot e^{-3/2}-\sqrt{-\pi \alpha }\cdot \mathrm{erfc}(\sqrt{-\alpha }\beta )\right)=\\ & \\ & =\sqrt{\frac{6}{\pi }}\cdot e^{-3/2}-\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\approx 0.308-0.083=0.225=22.5\%\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& \eta =22.5\%\end{array}$$