Умови

1. Рівняння стану ідеального газу

2.2

У балоні, об’єм якого $0,250{м}^3$ , міститься газ, що складається із суміші вуглекислого газу та парів води. Температура газу $327°C$. Число молекул вуглекислого газу $N_1=6,60\cdot 10^{21}$, число молекул пари води $N_2=0,90\cdot 10^{21}$. Обчислити тиск $p$ і відносну молекулярну масу $M_r$ газової суміші.

2.3

Густина газу, що складається із суміші гелію та аргону за тиску $152кПа$ і температури $27^{\circ }C$, дорівнює $\rho =2,00кг/{м}^3$.

Завдання

Скільки атомів гелію міститься в $1с{м}^3$ газової суміші?

2.4

Молекулярний пучок падає на стінку і відбивається від неї за законом абсолютно пружного удару. Знайти тиск $p$ молекулярного пучка на стінку, якщо швидкість молекул становить кут $\vartheta$ з нормаллю до стінки. Відомі маса $m$ і швидкість $v$ молекул, а також число молекул в одиниці об’єму $n$. Розглянути випадки:

• а) стінка нерухома;
• б) стінка рухається в напрямку своєї нормалі зі швидкістю $u$.

2.5

Обчислити середню квадратичну швидкість $⟨v{⟩}_{кв}$ і середню кінетичну енергію $⟨\epsilon ⟩$ поступального руху молекули кисню за температури $20°C$.

2.9

Знайти енергію $E$ теплового руху молекул $N{H}_3$, що перебувають у балоні об’ємом $10,0л$ за тиску $2,45кПа$. Яку частину цієї енергії становить енергія поступального руху молекул $E_{пост}$? Молекули вважати жорсткими.

2.13

Відомі питомі теплоємності газу $c_{{}_V}=649\frac{Дж}{кг\cdot К}$ і $c_p=912\frac{Дж}{кг\cdot К}$. Визначити молекулярну масу $M_r$ газу і число ступенів свободи $n$ його молекул.

2. Термодинаміка ідеального газу

2.64

Ідеальний газ, що перебуває в деякому початковому стані, який характеризується об’ємом $V_1$, розширюється до об’єму $V_2$. Процес розширення відбувається:

1. ізобарично,
2. ізотермічно,
3. адіабатично.

Завдання

Накреслити графіки цих процесів на діаграмах $р,V$ і $U,V$. На підставі дослідження графіків визначити:

• а) за якого процесу вироблена газом робота найменша;
• б) знак приросту внутрішньої енергії газу $\Delta U$ у кожному процесі.

2.67

У вертикальному циліндрі під поршнем маси $m$ і площі $S$ міститься $1кмоль$ деякого газу. Спочатку тиск газу на поршень урівноважується вагою поршня й атмосферним тиском $p_0$. Потім, діючи на поршень ззовні, висувають його з циліндра настільки повільно, що температура газу $T$ у циліндрі залишається практично постійною.

Завдання

Знайти роботу $A^{\prime }$, витрачену:

• а) при піднятті поршня на висоту $h$;
• б) при збільшенні об’єму газу вдвічі.

Тертя поршня об стінки циліндра не враховувати.

2.69

$1,00кг$ кисню стискається адіабатично, унаслідок чого температура газу зростає від $20°C$ до $100°C$.

Завдання

Зобразити цей процес на діаграмі $U,Т$. Обчислити:

• а) приріст внутрішньої енергії газу $\Delta U$;
• б) роботу $A^{\prime }$, витрачену на стиснення газу;
• в) у скільки разів зменшиться об’єм газу.

2.71

Закритий з обох кінців циліндр заповнений ідеальним газом. Усередині циліндра міститься легкорухомий поршень, який ділить його об’єм на дві рівні частини. Об’єм кожної половини циліндра дорівнює $V_0$ , тиск газу $p_0$ , маса поршня $m$, його площа $S$.

Завдання

Знайти період коливань $\tau$ поршня, що виникнуть, якщо трохи змістити поршень із положення рівноваги і потім відпустити.

Вважати, що об’єм і тиск газу пов’язані рівнянням політропи $p{V}^n=const$. Тертя поршня об стінки циліндра не враховувати.

2.76

$1кмоль$ газу, що перебуває за температури $T_1=300К$, охолоджується ізохорично, унаслідок чого його тиск зменшується вдвічі. Потім газ ізобарично розширюється так, що в кінцевому стані його температура дорівнює початковій.

Завдання

Зобразити процес на діаграмі $р,V$. Обчислити:

• а) кількість поглинутого газом тепла $Q$;
• б) виконану газом роботу $А$;
• в) приріст внутрішньої енергії газу $\Delta U$.

2.79

Знайти молярну теплоємність $C$ ідеального газу під час політропічного процесу. Показник політропи дорівнює $n$. Визначити, за яких значень $n$ теплоємність газу буде від’ємною.

2.80

За яких значень показника політропи $n$ політропічне розширення ідеального газу супроводжується:

• а) поглинанням тепла й нагріванням газу;
• б) поглинанням тепла й охолодженням газу;
• в) виділенням тепла? За рахунок якого джерела енергії в цьому випадку газ здійснює роботу?

2.81

Деяка кількість ідеального газу розширюється так, що процес на діаграмі $p,V$ зображується прямою лінією, що проходить через початок координат. Відомі: початковий об’єм газу $V_0$, початковий тиск $p_0$ і відношення $\gamma =\frac{C_p}{C_{{}_V}}$. У результаті розширення об’єм газу збільшився втричі.

Завдання

Знайти:

• а) показник політропи $n$;
• б) приріст внутрішньої енергії $\Delta U$ газу;
• в) роботу $A$, здійснювану газом;
• г) молярну теплоємність $C$ газу під час цього процесу.

2.84

Молярна теплоємність ідеального газу під час деякого процесу змінюється за законом $c=\frac{\alpha }{T}$, де $\alpha$ — постійна величина.

Завдання

Знайти:

• а) роботу $A$, яку здійснює кіломоль газу під час його нагрівання від температури $T_1$ до температури $T_2=2T_1$;
• б) рівняння, що пов’язує параметри $p$ і $V$ під час цього процесу.

3. Другий закон термодинаміки

2.85

$1кмоль$ кисню здійснює цикл Карно в інтервалі температур від $27°C$ до $327°C$. Відомо, що відношення максимального за цикл тиску $p_{max}$ до мінімального тиску $p_{min}$ дорівнює $20$.

Завдання

Обчислити:

• а) ККД циклу $\eta$;
• б) кількість тепла $Q_1$, отриманого від нагрівача за цикл;
• в) кількість тепла $Q_2^{\prime }$, відданого холодильнику за цикл;
• г) роботу $A$ газу за цикл.

2.86

Ідеальна холодильна машина працює за загальним циклом Карно в інтервалі температур від $-11°C$ до $15°C$. Робота машини за цикл $А=-200кДж$.

Завдання

Обчислити:

• а) холодильний коефіцієнт $\epsilon$;
• б) кількість тепла $Q_2$, що відводиться від охолоджуваного тіла за цикл;
• в) кількість тепла $Q_1^{\prime }$, яке віддають теплоприймачу за цикл.

Примітка. Холодильним коефіцієнтом $\epsilon$ називають відношення кількості тепла $Q_2$, що відводиться від охолоджуваного тіла, до витраченої роботи $A^{\prime }=-A$ .

2.87

Цикл, у якому як робоча речовина використовується водень, складається з двох ізохор і двох ізобар. Знайти здійснювану газом за цикл роботу $A$ і ККД циклу $\eta$. Відомо, що в межах циклу максимальні значення об’єму і тиску газу вдвічі більші від мінімальних значень, що дорівнюють $p_{min}=100кПа$ та $V_{min}=0,50{м}^3$.

2.93

Обчислити приріст ентропії $\Delta S$ під час нагрівання $1кмоля$ трьохатомного ідеального газу від $0°С$ до $500°C$, якщо процес нагрівання відбувається:

• а) за постійного об’єму;
• б) за постійного тиску. Вважати молекули газу жорсткими.

2.94

Знайти приріст ентропії $\Delta S$ при розширенні $0,20г$ водню від об’єму $1,50л$ до об’єму $4,50л$, якщо процес розширення відбувається:

• а) за постійного тиску;
• б) за постійної температури.

2.101

В одній посудині, об’єм якої $V_1=1,60л$, знаходиться $m_1=14,0мг$ азоту. В іншій посудині, об’єм якої $V_2=3,40л$, міститься $m_2=16,0мг$ кисню. Температури газів рівні. Посудини з’єднують, і гази перемішуються.

Завдання

Знайти приріст ентропії $\Delta S$ під час цього процесу.

2.102

Теплоізольована посудина розділена на дві рівні частини перегородкою, у якій є отвір, що закривається. В одній половині посудини міститься ідеальний газ, маса якого $m$. Друга половина відкачана до високого вакууму. Отвір у перегородці відкривають, і газ заповнює весь об’єм.

Завдання

Знайти прирости внутрішньої енергії $\Delta U$ та ентропії $\Delta S$ газу.

4. Вступ до статфізики. Розподіл Максвела за значеннями швидкості та енергії. Розподіл Больцмана за потенціальною енергією

2.25

Знайти відношення числа молекул газу, швидкості яких лежать в інтервалі від $v$ до $v+\Delta v$ при температурі $T_1$, до числа молекул, швидкості яких лежать у тому самому інтервалі при температурі $T_2=2T_1$. Розглянути випадки:

• а) $v=\frac{1}{2}{v}_{й{м}_1}$;
• б) $v=v_{й{м}_1}$;
• в) $v=2v_{й{м}_2}$ ,

де $v_{й{м}_1}$ та $v_{й{м}_2}$ — найімовірніші швидкості молекул, що відповідають температурам $T_1$ і $T_2$ (припускається, що в усіх випадках $\Delta v\ll v$).

2.26

За якого значення швидкості $v$ перетинаються криві розподілу Максвелла для температур $T_1$ та $T_2=2T_1$?

2.27

Яка частина молекул газу має кінетичну енергію поступального руху, що відрізняється від середньої кінетичної енергії поступального руху молекул не більш як на 1%?

2.28

Обчислити число ударів $\nu$ молекул газу об одиничну площадку за одиницю часу. Число молекул газу в одиниці об’єму $n$, температура газу $T$ , маса молекули $m$. Для газу має місце розподіл Максвелла.

Вказівка. Число молекул, компоненти швидкості яких лежать в інтервалі від $v_x$ до $v_x+d{v}_x$ (за довільних значень двох інших компонент $v_y$ та $v_z$):

$$\begin{array}{rl}& dn={\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{1/2}n{e}^{-m{v}_x^2/2kT}d{v}_x\end{array}$$

2.29

Обчислити середнє значення компоненти швидкості $⟨v_x⟩$ і середнє значення абсолютної величини компоненти швидкості $⟨\left|v_x\right|⟩$ молекул у газі, для якого справедливий розподіл Максвелла. Маса молекул $m$, температура газу $T$.

2.34

Показати, що центр ваги вертикального циліндричного стовпа повітря перебуває на висоті $h_{{}_C}$ , на якій густина газу зменшується в $e$ разів. Вважати, що температура повітря $T$, молярна маса $M$ і прискорення сили тяжіння $g$ не залежать від $h$.

2.35

Обчислити теплоємність повітря, що міститься у вертикальному циліндричному стовпі. Площа основи циліндра $S$, тиск на рівні нижньої основи $p_0$. Вважати, що температура повітря, молярна маса і прискорення сили тяжіння не залежать від висоти.

2.37

Обчислити, який відсоток молекул газу, що перебувають у полі тяжіння Землі, має потенційну енергію ${\epsilon }_p$ більшу, ніж їхня середня кінетична енергія поступального руху. Вважати, що температура газу і прискорення сили тяжіння не залежать від висоти.

2.39

Температура газу змінюється з висотою h за закономірністю $T=T_0(1-\beta h)$, де $\beta$ — постійна величина. Знайти закон зміни з висотою тиску $p$ і густини $\rho$ газу. При $h=0$ тиск газу $p_0$ . Молярна маса газу $M$.

5. Основи фізичної кінетики. Явища перенесення

2.40

Оцінити середню довжину вільного пробігу $\lambda$ і час $\tau$ між двома зіткненнями для:

• а) молекул водню за нормальних умов;
• б) протонів космічних променів у Галактиці.

Вважати, що середня густина міжзоряного газу $10^4\frac{частинок}{{м}^3}$. Швидкість космічних частинок близька до швидкості світла. Маса протона практично дорівнює масі атома водню. Радіус протона $r\sim 10^{-13}см$.

2.45

Знайти, як залежать від тиску середня довжина вільного пробігу $\lambda$ і число зіткнень за одну секунду $z$ молекул ідеального газу, якщо маса газу є постійною і газ здійснює процес:

• а) ізохорічний;
• б) ізотермічний;
• в) адіабатичний. Ефективний діаметр молекул вважати постійним.

2.48

Яка частина всіх молекул повітря, що перебуває за температури $0°C$ і тиску $2,4Па$, проходить шлях $10мм$ без зіткнень?

2.55

Простір між двома великими паралельними пластинами заповнений гелієм. Відстань між пластинами $l=50мм$. Одну пластину підтримують за температури $t_1=20°С$, іншу — за температури $t_2=40°С$.

Завдання

Обчислити густину потоку тепла $q$. Розрахунки зробити для випадків, коли тиск у газі:

• а) $p=100кПа$;
• б) $p=10мПа$.

2.56

Один кінець стрижня, укладеного в теплоізоляційну оболонку, перебуває в термічному контакті з термостатом, температура якого $T_1$, а другий кінець — з термостатом, температура якого $T_2(T_1>T_2)$. Стержень складається з двох частин, довжини яких $l_1$ і $l_2$ та коефіцієнти теплопровідності ${\kappa }_1$ і ${\kappa }_2$ .

Завдання

Знайти густину потоку тепла $q$ і градієнт температури $dT/dx$ у кожній частині стрижня.

2.57

Простір між двома великими паралельними пластинами заповнений середовищем, коефіцієнт теплопровідності якого змінюється з температурою за законом $\kappa =\frac{{\kappa }_0}{T}$, де ${\kappa }_0$ — постійна для даного середовища величина. Температури пластин $T_1$ і $T_2$ підтримуються постійними $(T_1>T_2)$. Відстань між пластинами $l$.

Завдання

Знайти густину потоку тепла $q$ і температуру $T$ у середовищі як функцію $x$, де $x$ — відстань, відлічена від пластини, температура якої $T_1$.

2.58

Простір між двома концентричними сферами заповнений однорідною ізотропною речовиною. Радіуси сфер дорівнюють $r_1$ і $r_2$ $(r_2>r_1)$. Поверхню внутрішньої сфери підтримують за температури $T_1$, поверхню зовнішньої сфери — за температури $T_2$. Потік тепла $q$ через поверхні сфер відомий.

Завдання

Знайти коефіцієнт теплопровідності $\kappa$ речовини, що міститься між сферами, градієнт температури $dT/dr$ і температуру $T$ у зоні між сферами як функцію $r$. Вважати, що $\kappa$ не залежить від температури.

2.60

Над диском, який може обертатися навколо вертикальної осі, що проходить через його центр інерції, підвішений другий такий самий диск. Знайди момент сил тертя $N$, що діють на верхній диск, якщо нижній диск обертається з кутовою швидкістю $\omega$. Відомі: радіус дисків $a$, відстань між дисками $d(d\ll a)$, коефіцієнт в’язкості повітря $\eta$.

2.62

Газ заповнює простір між двома дуже довгими коаксіальними циліндрами. Радіуси циліндрів $r_1$ і $r_2$ $(r_2>r_1)$. Зовнішній циліндр обертається з постійною кутовою швидкістю $\omega$, внутрішній нерухомий. Момент сил тертя, що діє на одиницю довжини внутрішнього циліндра, дорівнює $N$. Знайти коефіцієнт в’язкості газу $\eta$ і градієнт кутової швидкості $\frac{d{\omega }_0}{dr}$ як функцію $r$.

6. Термодинаміка реального газу

2.103

$0,840кг$ азоту займає об’єм $33,0л$ за температури $-100°C$.

Завдання

Знайти тиск $p_1$, який чинить газ на стінки посудини. Порівняти $p_1$ з тиском $p_2$, обчисленим за допомогою рівняння стану ідеального газу.

2.105

Знайти роботу $A$, здійснювану кіломолем газу під час ізотермічного розширення. Відомі: температура $T$, початковий $V_1$ і кінцевий $V_2$ об’єми газу, постійні Ван-дер-Ваальса $a$ і $b$.

2.107

Знайти для газу, що підкоряється рівнянню Ван-дер-Ваальса:

• а) молярну теплоємність за постійного об’єму $C_{{}_V}$;
• б) рівняння адіабати;
• в) різницю молярних теплоємностей $C_p-C_{{}_V}$. Чому дорівнює ця різниця в критичній точці?

2.112

Два теплоізольовані балони з’єднані краном. В одному балоні, об’єм якого $V_1$, міститься $1кмоль$ газу. Другий балон, об’єм якого $V_2$, відкачано до високого вакууму. Кран відкривають, і газ адіабатично розширюється.

Завдання

Знайти:

• а) приріст внутрішньої енергії газу $\Delta U$;
• б) роботу $A_i$, здійснену газом проти міжмолекулярних сил тяжіння;
• в) приріст температури газу $\Delta T$.

Відомі: константа Ван-дер-Ваальса $a$ і молярна теплоємність $C_{{}_V}$ газу.

2.115

Показати, що в досліді Джоуля-Томсона ефект буде завжди від’ємним $(\Delta T>0)$ у таких випадках:

• а) початкова температура газу $T_1>6,75T_{cr}$;
• б) дроселюється газ, для якого силами взаємного тяжіння молекул можна знехтувати.

2.117

Знайти приріст ентропії $\Delta S$ кіломоля газу під час ізотермічного розширення від об’єму $V_1$ до об’єму $V_2$. Вважати, що поправка Ван-дер-Ваальса $b$ відома.

7. Гідродинаміка

1.344

Трубка Піто встановлена по осі газопроводу, площа внутрішнього перерізу якого дорівнює $S$.

Завдання

Нехтуючи в’язкістю, знайти об’єм газу, що проходить через переріз трубки за одиницю часу, якщо різниця рівнів у рідинному манометрі дорівнює $\Delta h$, а густини рідини й газу — відповідно ${\rho }_0$ і $\rho$.

1.346

На столі стоїть широка циліндрична посудина заввишки $50см$. Посудина наповнена водою.

Завдання

Нехтуючи в’язкістю, знайти, на якій висоті від дна посудини слід зробити невеликий отвір, щоб струмінь із нього бив у поверхню столу на максимальну відстань $l_{max}$ від посудини.

Чому дорівнює $l_{max}$?

1.361

По трубці завдовжки $l$ і радіусом $R$ тече стаціонарний потік рідини, густина якої $\rho$ і коефіцієнт в’язкості $\eta$. Швидкість течії рідини залежить від відстані $r$ до осі трубки за законом $v=v_0\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$.

Завдання

Знайти:

• а) об’єм рідини, що протікає через переріз трубки за одиницю часу;
• б) кінетичну енергію рідини в об’ємі трубки;
• в) силу тертя, якої зазнає трубка з боку рідини;
• г) різницю тисків на кінцях трубки.

1.347

Вигнуту трубку опустили в потік води, як показано на рисунку. Швидкість потоку відносно трубки $v=2,5\frac{м}{с}$. Закритий верхній кінець трубки має невеликий отвір і перебуває на висоті $h_0=12см$.

Завдання

На яку висоту $h$ підніматиметься струмінь води, що витікає з отвору?

2.74

Обчислити швидкість $v$ адіабатичного витікання гелію з посудини у вакуум через малий отвір. Температура гелію в посудині $T=1490K$. Вважати, що площа отвору настільки мала, що можна знехтувати швидкістю потоку газу в посудині.

2.75

Газ адіабатично витікає з резервуара горизонтальною трубою малого перерізу $S$. У резервуарі підтримуються постійними тиск $p_0$ і температура $T_0$. Зовнішній тиск дорівнює $p$. Вважати газ ідеальним, а переріз труби $S$ настільки малим, що можна нехтувати швидкістю потоку газу в резервуарі.

Завдання

а) Знайти швидкість витікання газу $v$ та кількість газу $q$, що витікає за одиницю часу. б) Показати, що $q$ максимальна, коли швидкість витікання дорівнює швидкості звуку в газі за температури на виході з труби.

8. Рідина

2.120

Розташований вертикально капіляр радіуса $r$ занурений одним кінцем у рідину, що змочує його.

Завдання

Знайти закон зміни тиску $p$ у капілярі з висотою $z$. Який тиск у точках $A$ і $B$?

Коефіцієнт поверхневого натягу, крайовий кут і атмосферний тиск дорівнюють відповідно $\alpha ,\vartheta$ і $p_0$.

2.123

Який тиск $p$ у бульбашках повітря, що утворюються у воді на глибині $3,50м$? Діаметр бульбашок $3,66мкм$. Атмосферний тиск $101кПа$.

2.125

Радіус мильної бульбашки $r=6,0мм$; поверхневий натяг мильної води $\alpha =4,3\cdot 10^{-2}Н/м$.

Завдання

Обчислити:

• а) додатковий тиск $\Delta p$ повітря усередині бульбашки;
• б) вільну енергію $F$ поверхні мильної бульбашки;
• в) роботу $A$, яку потрібно виконати, щоб видути цю бульбашку.

Вважати, що процес утворення мильної бульбашки відбувався ізотермічно.

2.131

Обчислити приріст вільної енергії $\Delta F$ поверхневого шару в процесі злиття двох однакових крапель ртуті в одну. Процес вважати таким, що відбувається за постійної температури. Радіус крапель до злиття $r=2,5мм$.

2.126

Дві вертикальні паралельні одна одній скляні пластини частково занурені в спирт. Відстань між пластинами $d=0,20мм$, ширина $l=19,0см$.

Завдання

Обчислити, на яку висоту $h$ піднімається спирт між пластинами і з якою силою $f$ притягуватимуться пластини. Вважати, що змочування повне і що спирт між пластинами не доходить до їхніх верхніх країв.

2.132

Прямокутна рамка з рухомою поперечиною затягнута мильною плівкою. Дуже повільно пересувають перекладину так, що площа рамки збільшується на $\Delta \sigma =2,0с{м}^2$. Процес розтягування плівки відбувається за температури $t=27°С$. Коефіцієнт поверхневого натягу мильного розчину $\alpha =4,0\cdot 10^{-2}Н/м$, температурний коефіцієнт $d\alpha /dT=-1,5\cdot 10^{-4}Н/(м\cdot К)$.

Завдання

Обчислити: приріст вільної енергії $\Delta F$, ентропії $\Delta S$ і внутрішньої енергії $\Delta U$ поверхневого шару плівки.

9. Пружні властивості твердих тіл

1.318

Який тиск зсередини (за відсутності зовнішнього тиску) може витримати:

• а) скляна трубка;
• б) скляна сферична колба, у яких радіус $r=25мм$ і товщина стінок $\Delta r=1,0мм$?

1.323

Тонкий однорідний мідний стрижень завдовжки $l$ і маси $m$ рівномірно обертається з кутовою швидкістю $\omega$ в горизонтальній площині навколо вертикальної осі, яка проходить через один з його кінців.

Завдання

Знайти силу натягу в стрижні залежно від відстані $r$ до осі обертання, а також знайти подовження стрижня.

1.326

Брусок із матеріалу з модулем Юнга $E$ і коефіцієнтом Пуассона $\mu$ піддали всебічному стисненню тиском $p$.

Завдання

Знайти:

• а) відносне зменшення його об’єму;
• б) зв’язок між коефіцієнтом об’ємного розширення $\beta$ і пружними постійними $E$ і $\mu$.

1.328

Вигин пружного стрижня характеризується формою пружної лінії, що проходить через центри ваги поперечних перерізів стрижня. Рівняння для визначення цієї лінії за малих вигинів має вигляд

$$\begin{array}{rl}& N(x)=EI\frac{d^{2}y}{d{x}^2},\end{array}$$

де $N(x)$ - згинальний момент пружних сил у перерізі з координатою $x$, $E$ - модуль Юнга, $I$ - момент інерції поперечного перерізу відносно осі, що проходить через нейтральний шар ($I=\int z^{2}dS$).

1.336

Знайти енергію пружної деформації сталевого стрижня маси $m=3,1кг$, що розтягнутий так, що його відносне подовження $\epsilon =1,0\cdot 10^{-3}$.

1.337

Сталевий циліндричний стрижень завдовжки $l$ і радіусом $r$ підвісили одним кінцем до стелі.

Завдання

а) Знайти енергію $U$ пружної деформації стрижня. б) Виразити $U$ через відносне збільшення довжини стрижня $\frac{\Delta l}{l}$.

10. Акустика. Фазові переходи

1.439

За скільки часу звукові коливання пройдуть відстань $l$ між точками $A$ і $В$, якщо температура повітря між ними змінюється лінійно від $T_1$ до $T_2$?

Швидкість звуку в газі $v=\alpha \sqrt{T}$ , де $\alpha$ — постійна.

1.441

В однорідному пружному середовищі поширюється плоска хвиля виду $\xi (x,t)=a\cos (\omega t-kx)$.

Завдання

Зобразити для моменту $t=0$ :

• а) графіки залежностей від $x$ величин $\xi ,\frac{\partial \xi }{\partial t}$ і $\frac{\partial \xi }{\partial x}$;
• б) напрямок швидкості частинок середовища в точках, де $\xi =0$, для випадків поздовжньої та поперечної хвиль;
• в) приблизний графік розподілу густини середовища $\rho (x)$ для поздовжньої хвилі.

1.444

У пружному однорідному середовищі поширюються дві плоскі хвилі, одна — уздовж осі $x$, інша — уздовж осі $y$: ${\xi }_1=a\cos (\omega t-kx)$, ${\xi }_2=a\cos (\omega t-ky)$.

Завдання xy, якщо обидві хвилі:

Знайти характер руху частинок середовища в площині

• а) поперечні й напрям коливань однаковий;
• б) поздовжні.

1.450

В однорідному середовищі з густиною р установилася поздовжня стояча хвиля виду $\xi =a\cos kx\cdot \cos \omega t$.

Завдання

Знайти вирази для об’ємної густини:

• а) потенційної енергії $w_p(x,t)$;
• б) кінетичної енергії $w_k(x,t)$.

Зобразити графіки розподілу об’ємної густини повної енергії в межах між двома сусідніми вузлами зсуву в моменти $t=0$ і $t=\frac{T}{4}$, де $T$ — період коливань.

1.454

Знайти число можливих власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менші за ${\nu }_0=1250Гц$. Довжина труби $l=85см$. Швидкість звуку $v=340м/с$.

Розглянути два випадки:

• а) труба закрита з одного кінця;
• б) труба відкрита з обох кінців.

Вважати, що відкриті кінці труби є пучностями зміщення.

2.110

Для демонстрації критичного стану речовини виготовляють запаяну скляну ампулу, що містить таку кількість досліджуваної рідини, для якої об’єм ампули є критичним. У процесі нагрівання ампули рідина пройде через послідовність станів, що включає і критичний.

Завдання

1. Обчислити, яка кількість етеру має бути в ампулі об’ємом $V=28,5см3$, щоб спостерігати критичний стан. Для етеру ${Т}_{cr}=467К,p_{cr}=3,59мПа,M=74\frac{кг}{моль}$.
2. Зобразити на діаграмі $Т,V$ ділянку двофазного стану рідина - пара і простежити перебіг процесу під час нагрівання ампули від $T_1<T_{cr}$ до $T_2>T_{cr}$ для випадків, коли об’єм ампули:

• а) менший за критичний;
• б) дорівнює критичному;
• в) більший за критичний.

2.111

У деякої речовини при температурі $T_1$ об’єм, який вона займає в стані насиченої пари, у $n$ разів перевищує об’єм, який вона займає в рідкому стані за того самого тиску. Певна кількість цієї речовини, узятої в стані насиченої пари, стискається ізотермічно за температури $T_1$ від об’єму $V_{г}$ до об’єму $V$, що є в $k$ разів меншим $(n>k)$.

Завдання

Яку частину кінцевого об’єму $V$ займає рідка фаза речовини? Розглянути також окремий випадок, коли об’єм $V$ відповідає середині горизонтальної ділянки ізотерми.

2.133

Обчислити приріст ентропії за таких процесів: а) $1кмоль$ води перетворюється на пару. Температура води і пари $100°C$. б) $1,00кг$ льоду в результаті нагрівання перетворюється на воду і потім на пару. Температура льоду $0°С$, температура пари $100°С$. Процес протікає за тиску $101кПа$. Вважати, що теплоємність води не залежить від температури. в) У калориметрі, теплоємністю якого можна нехтувати, змішують $500г$ води за температури $0°С$ і $400г$ гліцерину за температури $27°C$.

2.136

Камера Вільсона заповнена водяними парами, які внаслідок адіабатичного розширення опинилися в пересиченому стані. Температура парів дорівнює $-7°C$; тиск парів $p$ у $1,12$ раза більший за тиск насичених парів $p_{на{с}_0}$ над плоскою поверхнею води за тієї самої температури.

Завдання

Який рівноважний радіус г крапель води, що утворюються під час проходження а-частинок через камеру Вільсона? Що відбуватиметься з краплями меншого розміру?

Вказівка. Залежність тиску насиченої пари $p_{нас}$ над викривленою поверхнею від радіуса її кривизни $r$ виражається законом

$$\begin{array}{rl}& p_{нас}=p_{на{с}_0}{e}^{\pm (2M\alpha /\rho RT)(1/r)}\end{array}$$

де $p_{на{с}_0}$ — тиск насиченої пари над плоскою поверхнею рідини, $\alpha$ — коефіцієнт поверхневого натягу, $\rho$ — густина рідини, знак мінус — для увігнутої поверхні, знак плюс — для випуклої.