3

Умова

В балоні, об’єм якого $24\mathrm{l}$, міститься водень. За температури $35°\mathrm{C}$ тиск водню $775\mathrm{мм}\mathrm{рт}.\mathrm{ст}$. Визначити кількість молекул водню, модуль швидкості яких лежить в інтервалі від $2.29\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ до $2.31\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$.

Розв’язання

1. Переведемо в систему СІ:

$$\begin{array}{rl}& V=24l=2.4\cdot 10^{-2}{\mathrm{m}}^3\\ & T=35°C=308\mathrm{K}\\ & P=775\mathrm{mmHg}=1\mathrm{atm}=101325\mathrm{Pa}\end{array}$$

2. Можемо переписати інтервал швидкостей як:

$$\begin{array}{rl}& v=2.3\cdot 10^3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ & \Delta v=10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$$

3. Частка молекул, модуль швидкості яких лежить у інтервалі $[v-\Delta v,v+\Delta v]$ рахується за допомогою інтегрування функції розподілу за модулями швидкостей молекул, але оскільки $\Delta v\ll v$:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\Delta N}{N}\approx F(v-\Delta v)\cdot 2\Delta v,\text{де}\end{array}$$

• $F(v)=4\pi (v-\Delta v{)}^2{\left(\frac{\mu }{2\pi RT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{\mu (v-\Delta v{)}^2}{2RT}\right)$ — функція розподілу за модулями швидкостей молекул,
• $\mu =2\cdot 10^{-3}\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{mol}}$ — молярна маса водню.

4. Таким чином, частка становить:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\Delta N}{N}=4\pi (v-\Delta v{)}^2{\left(\frac{\mu }{2\pi RT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{\mu (v-\Delta v{)}^2}{2RT}\right)\cdot 2\Delta v\end{array}$$

5. Аби визначити загальну кількість молекул водню в балоні, скористаємося рівнянням стану ідеального газу:

$$\begin{array}{rl}& pV=\nu RT\to N=\frac{pV{N}_A}{RT}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& N=\frac{101325\cdot 2.4\cdot 10^{-2}\cdot 6.022\ast 10^{23}}{8.31\cdot 308}=5.72\cdot 10^{23}\end{array}$$

6. Тоді кількість молекул, модуль швидкості яких лежить у інтервалі $[v-\Delta v,v+\Delta v]$:

$$\begin{array}{rl}& \Delta N=8\pi N\cdot \Delta v\cdot (v-\Delta v{)}^2\cdot {\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{3/2}\cdot \exp \left(-\alpha (v-\Delta v{)}^2\right),\text{де}\\ & \alpha =\frac{\mu }{2RT}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \alpha =0.39{\left(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{km}}\right)}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \Delta N=4.27\cdot 10^{21}\end{array}$$

Відповідь

$\Delta N=4.27\cdot 10^{21}$ молекул водню мають модуль швидкості, що лежить в інтервалі від $2.29\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ до $2.31\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.