2.35

Умова

2.35

Обчислити теплоємність повітря, що міститься у вертикальному циліндричному стовпі. Площа основи циліндра $S$, тиск на рівні нижньої основи $p_0$. Вважати, що температура повітря, молярна маса і прискорення сили тяжіння не залежать від висоти.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Оскільки $dp=-\rho gdh$ та з рівняння стану ідеального газу $\rho =\frac{p\mu }{RT}$:

$$\begin{array}{rl}& \frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{RT}dh\\ & \\ & p=p_0{e}^{-\mu gh/RT}\end{array}$$

2. Позначимо $-\frac{\mu g}{RT}$ як $\alpha$
3. Тоді, також з рівняння стану, для 1 молю речовини:

$$\begin{array}{rl}& p=\frac{RT}{V}=p_0{e}^{\alpha h},\text{або ж:}\\ & \\ & T=\frac{p_{0}Sh}{R}{e}^{\alpha h}\to dT=\frac{p_{0}S}{R}{e}^{\alpha h}(\alpha h+1)dh\\ & \\ & \frac{dh}{dT}=\frac{R}{p_{0}S{e}^{\alpha h}(\alpha h+1)}\end{array}$$

4. Тоді теплоємність:

$$\begin{array}{rl}& C=C_V+p\left(\frac{dV}{dT}\right)=C_V+\frac{RTS}{V}\frac{dh}{dT}=C_V+\frac{RS}{V}\cdot \frac{p_{0}Sh}{R}\cdot e^{\alpha h}\cdot \frac{R}{p_{0}S{e}^{\alpha h}(\alpha h+1)}=\\ & \\ & =C_V+\frac{R}{\alpha h+1}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& C=C_V+\frac{R}{\alpha h+1}\end{array}$$