2.34

Умова

2.34

Показати, що центр ваги вертикального циліндричного стовпа повітря перебуває на висоті $h_{{}_C}$ , на якій густина газу зменшується в $e$ разів. Вважати, що температура повітря $T$, молярна маса $M$ і прискорення сили тяжіння $g$ не залежать від $h$.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Якщо прискорення сили тяжіння не залежить від висоти, то центр мас розташовується на висоті:

$$\begin{array}{rl}& h_c=\frac{{\int }_0^{\infty }hdm}{{\int }_0^{\infty }dm}=\frac{{\int }_0^{\infty }h\rho dh}{{\int }_0^{\infty }\rho dh}\end{array}$$

2. З барометричної формули:

$$\begin{array}{rl}& \rho ={\rho }_0{e}^{-\mu gh/RT}\end{array}$$

3. Таким чином, центр мас знаходиться на висоті:

$$\begin{array}{rl}& h_c=\frac{{\int }_0^{\infty }h(e^{-\mu gh/RT})dh}{{\int }_0^{\infty }{e}^{-\mu gh/RT}dh}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& -\frac{\mu g}{RT}=const=\alpha \\ & \int h(e^{\alpha h})dh=\left|\begin{array}{l}\int udv=uv-\int vdu\\ u=h\to du=dh\\ dv=e^{\alpha h}dh\\ v=\frac{1}{\alpha }{e}^{\alpha h}\end{array}\right|=\frac{h}{\alpha }{e}^{\alpha h}-\frac{1}{\alpha }\int e^{\alpha h}dh=\frac{h{e}^{\alpha h}}{\alpha }-\frac{e^{\alpha h}}{{\alpha }^2}=\frac{e^{\alpha h}}{\alpha }\left(h-\frac{1}{\alpha }\right)+C\\ & \\ & \int e^{\alpha h}dh=\frac{e^{\alpha h}}{\alpha }+C\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& h_c=\frac{\frac{e^{\alpha h}}{\alpha }\left(h-\frac{1}{\alpha }\right){|}_0^{\infty }}{\frac{e^{\alpha h}}{\alpha }{|}_0^{\infty }}=\left|\alpha <0\right|=\frac{\frac{1}{{\alpha }^2}}{-\frac{1}{\alpha }}=-\frac{1}{\alpha }=\frac{RT}{\mu g}\end{array}$$

4. На цій висоті густина становить:

$$\begin{array}{rl}& \rho ={\rho }_0{e}^{-Mg{h}_c/RT}=\frac{{\rho }_0}{e}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& h_c=\frac{RT}{Mg},\rho =\frac{{\rho }_0}{e}\end{array}$$