2.29

Умова

2.29

Обчислити середнє значення компоненти швидкості $⟨v_x⟩$ і середнє значення абсолютної величини компоненти швидкості $⟨\left|v_x\right|⟩$ молекул у газі, для якого справедливий розподіл Максвелла. Маса молекул $m$, температура газу $T$.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Оскільки розподіл є рівномірним, то $⟨v_x⟩=0$.
2. Cереднє значення абсолютної величини компоненти швидкості:

$$\begin{array}{rl}⟨|v_x|⟩& =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\mid v_x\mid e^{-\frac{m^2}{2kT}}d{v}_x/\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{\frac{-m^2}{2kT}}d{v}_x=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{v}_x{e}^{\frac{-m^2}{2kT}}d{v}_x/\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{\frac{-m^2}{2kT}}d{v}_x=\\ & \\ & =\sqrt{\frac{2kT}{m}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}u{e}^{-u^2}du/\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-u^2}du=\\ & \\ & =\sqrt{\frac{2kT}{m}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{2}{e}^{-x}dx/\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x}\frac{dx}{2\sqrt{x}}=\\ & \\ & =\sqrt{\frac{2kT}{m}}\Gamma (1)/\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{2kT}{m\pi }}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& ⟨v_x⟩=0,⟨\mid v_x\mid ⟩=\sqrt{\frac{2kT}{m\pi }}\end{array}$$