2.28

Умова

2.28

Обчислити число ударів $\nu$ молекул газу об одиничну площадку за одиницю часу. Число молекул газу в одиниці об’єму $n$, температура газу $T$ , маса молекули $m$. Для газу має місце розподіл Максвелла.

Вказівка. Число молекул, компоненти швидкості яких лежать в інтервалі від $v_x$ до $v_x+d{v}_x$ (за довільних значень двох інших компонент $v_y$ та $v_z$):

$$\begin{array}{rl}& dn={\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{1/2}n{e}^{-m{v}_x^2/2kT}d{v}_x\end{array}$$ Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Розглянемо кружальце одиничної площі $S$. На ньому виділимо елемент площі $dS$ та обчислимо середнє число частинок $⟨d{N}_S⟩$, що вдаряються об неї з півсфери $L$, що має спільний центр з площадкою $dS$. Для цього розглянемо тонкий півсферичний шар товщини $dl$:
2. Для будь-якого елементарного об’єму $dV$ півсферичного шару площа $dS$ займає сферичний кут $\frac{dS\cos \theta }{l^2}$.
3. Оскільки у об’ємі $dV$ міститься $ndV$ частинок, то, вважаючи рух хаотичним, можемо зробити висновок, що в одиницю тілесного кута влітає $\frac{ndV}{4\pi }$ частинок. Тоді, знаючи сферичний кут $dS$, у його напрямку летить така кількість частинок:

$$\begin{array}{rl}& \frac{n\cos \theta dSdV}{4\pi l^2}\end{array}$$

4. Рахуватимемо $d{N}_S$ у сферичній системі координат, для якої:

$$\begin{array}{rl}& dV=l^{2}dld\phi \sin \theta d\theta \\ & \\ & d{N}_S={\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{\pi /2}d\theta \sin \theta {\int }_0^{L}dl\frac{n{l}^2\cos \theta dS}{4\pi l^2}=\frac{1}{4}nLdS\end{array}$$

5. За час $\tau$ елемента площі $dS$ досягнуть ті молекули, що мають швидкість $v\ge \frac{l}{\tau }$. Однак, можна піти від зворотного та стверджувати, що площі $dS$ в середньому досягнуть ті молекули, що знаходяться на відстані $l\le ⟨v⟩t$. Відповідно, середнє число зіткнень частинок газу з кружальцем стіни одиничної площі становить:

$$\begin{array}{rl}& \nu =\frac{⟨d{N}_S⟩}{\tau dS}=\frac{⟨N_S⟩}{\tau S}=\frac{1}{4}n⟨v⟩\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& \nu =\frac{1}{4}n⟨v⟩\end{array}$$