2.27

Умова

2.27

Яка частина молекул газу має кінетичну енергію поступального руху, що відрізняється від середньої кінетичної енергії поступального руху молекул не більш як на 1%?

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Середня кінетичного енергія поступального руху:

$$\begin{array}{rl}& ⟨E⟩=\frac{3}{2}kT\end{array}$$

2. Частка молекул, кінетична енергія яких лежить у інтервалі $[E-\Delta E,E+\Delta E]$:

Загалом, така задача мала б вирішуватися інтегруванням функції розподілу, але для $\Delta E\ll E$ можемо спростити:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\Delta N(⟨E⟩-\Delta E)}{N}=F_E(⟨E⟩-\Delta E)\cdot 2\Delta E\\ & \\ & \Delta E=0.01\cdot ⟨E⟩=\frac{3}{200}kT\end{array}$$

3. Де $F_E$ — функція розподілу молекул за кінетичними енергіями:

$$\begin{array}{rl}& F_E(⟨E⟩-\Delta E)=2\sqrt{\frac{⟨E⟩-\Delta E}{\pi (kT{)}^3}}{e}^{-\frac{⟨E⟩-\Delta E}{kT}}\\ & \\ & F_E=\sqrt{\frac{0.99\cdot 6}{\pi (kT{)}^2}}\cdot e^{-0.99\cdot 3/2}\end{array}$$

4. Тоді шукана частина молекул:

$$\begin{array}{rl}\frac{\Delta N}{N}& =\sqrt{\frac{0.99\cdot 6}{\pi (kT{)}^2}}\cdot e^{-0.99\cdot 3/2}\cdot \frac{6}{200}kT=\\ & \\ & =e^{-2.97/2}\cdot \frac{6}{200}\cdot \sqrt{\frac{5.94}{\pi }}=0.0093=0.93\%\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& 0.93\%\end{array}$$