2.25

Умова

2.25

Знайти відношення числа молекул газу, швидкості яких лежать в інтервалі від $v$ до $v+\Delta v$ при температурі $T_1$, до числа молекул, швидкості яких лежать у тому самому інтервалі при температурі $T_2=2T_1$. Розглянути випадки:

• а) $v=\frac{1}{2}{v}_{й{м}_1}$;
• б) $v=v_{й{м}_1}$;
• в) $v=2v_{й{м}_2}$ ,

де $v_{й{м}_1}$ та $v_{й{м}_2}$ — найімовірніші швидкості молекул, що відповідають температурам $T_1$ і $T_2$ (припускається, що в усіх випадках $\Delta v\ll v$).

Посилання на оригінал

Розв’язання

Загальний випадок

1. Найімовірніша швидкість молекули за температури $T$:

$$\begin{array}{rl}& v_{йм}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\end{array}$$

2. Функція розподілу за модулями швидкостей молекул:

$$\begin{array}{rl}& F(v)=4\pi v^2{\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m_0{v}^2}{2kT}\right)\end{array}$$

3. Тоді відношення числа молекул газу, швидкості яких лежать в інтервалі від $v$ до $\Delta v$ при температурі $T_1$, до числа молекул, швидкості яких лежать у тому самому інтервалі при температурі $T_2$:

$$\begin{array}{rl}\frac{F_1(v)}{F_2(v)}& ={\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^2{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{3/2}\exp \left[\frac{m_0{v}_2^2}{2k{T}_2}-\frac{m_0{v}_1^2}{2k{T}_1}\right]={\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \exp \left[\frac{m_0}{2k{T}_1}\left(\frac{v_2^2}{2}-v_1^2\right)\right]\end{array}$$

4. Оскільки $v_1=v_2=v$, то

$$\begin{array}{rl}& \eta =\frac{F_1(v)}{F_2(v)}=2\sqrt{2}\exp \left[-\frac{m_0{v}^2}{4k{T}_1}\right]\end{array}$$

а) $v=\frac{1}{2}{v}_{й{м}_1}$

$$\begin{array}{rl}& v_a=\sqrt{\frac{k{T}_1}{2m_0}}\\ & \\ & {\eta }_a=2\sqrt{2}\cdot \exp \left[-\frac{1}{8}\right]=2.50\end{array}$$

б) $v=v_{й{м}_1}$

$$\begin{array}{rl}& v_b=\sqrt{\frac{2k{T}_1}{m_0}}\\ & \\ & {\eta }_b=2\sqrt{2}\cdot \exp \left[-\frac{1}{2}\right]=1.72\end{array}$$

в) $v=2v_{й{м}_2}$

$$\begin{array}{rl}& v_c=2\sqrt{\frac{2k{T}_2}{m_0}}=4\sqrt{\frac{k{T}_1}{m_0}}\\ & \\ & {\eta }_c=2\sqrt{2}\cdot \exp [-4]=0.052\end{array}$$

Відповідь

• а) 2.5
• б)1.72
• в) 0.052