2.84

Умова

2.84

Молярна теплоємність ідеального газу під час деякого процесу змінюється за законом $c=\frac{\alpha }{T}$, де $\alpha$ — постійна величина.

Завдання

Знайти:

• а) роботу $A$, яку здійснює кіломоль газу під час його нагрівання від температури $T_1$ до температури $T_2=2T_1$;
• б) рівняння, що пов’язує параметри $p$ і $V$ під час цього процесу.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Аби знайти роботу $A$, знайдемо $Q$ та $\Delta U$:

$$\begin{array}{rl}& dQ=CdT=\alpha \frac{dT}{T}\\ & Q={\int }_{T_1}^{T_2}\frac{\alpha }{T}dT=\alpha \ln \frac{T_2}{T_1}=\alpha \ln 2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \Delta U=\frac{i}{2}\nu R\Delta T,i=\frac{2}{\gamma -1}\\ & \Delta U=\frac{1}{\gamma -1}\nu R{T}_1\end{array}$$

2. Таким чином, робота:

$$\begin{array}{rl}& A=Q-\Delta U=\alpha \ln 2-\frac{1}{\gamma -1}\nu R{T}_1\end{array}$$

3. Щоб знайти рівняння, що пов’язує параметри $p$ і $V$ під час цього процесу запишемо рівняння молярної теплоємності:

$$\begin{array}{rl}& c=\frac{\alpha }{T}=c_V+p\frac{dV}{dT}=c_V+RT\frac{dV}{V}\cdot \frac{1}{dT}\end{array}$$

4. Домножимо на $\frac{dT}{RT}$:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\alpha }{R{T}^2}dT-\frac{c_V}{RT}dT=\frac{dV}{V}\end{array}$$

5. Проінтегруємо:

$$\begin{array}{rl}& X-\frac{\alpha }{RT}-\frac{c_V}{R}\ln T=\ln V,X=const\\ & \\ & \ln V+\frac{c_V}{R}\ln T+\frac{\alpha }{RT}=X\\ & \\ & e^{\ln V+\frac{c_V}{R}\ln T+\frac{\alpha }{RT}}=e^X=const,c_V=\frac{R}{\gamma -1}\\ & \\ & e^{\ln V}\cdot (e^{\ln T}{)}^{\frac{1}{\gamma -1}}\cdot e^{\frac{\alpha }{RT}}=V{T}^{\frac{1}{\gamma -1}}\cdot e^{\frac{\alpha }{RT}}=const\end{array}$$

6. Позбавимось $T$:

$$\begin{array}{rl}& T=\frac{PV}{R}\\ & \\ & V{\left(\frac{PV}{R}\right)}^{{}^{\frac{1}{\gamma -1}}}\cdot e^{{}^{\frac{\alpha }{PV}}}=R^{{}^{\frac{1}{1-\gamma }}}{P}^{{}^{\frac{1}{\gamma -1}}}{V}^{{}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}\cdot e^{{}^{\frac{\alpha }{PV}}}=const\\ & \\ & P{V}^{\gamma }{e}^{\frac{\alpha (\gamma -1)}{RT}}=const\end{array}$$

Відповідь

а) $A=\alpha \ln 2-\frac{1}{\gamma -1}\nu R{T}_1$

б) $P{V}^{\gamma }{e}^{\frac{\alpha (\gamma -1)}{RT}}=const$