2.81

Умова

2.81

Деяка кількість ідеального газу розширюється так, що процес на діаграмі $p,V$ зображується прямою лінією, що проходить через початок координат. Відомі: початковий об’єм газу $V_0$, початковий тиск $p_0$ і відношення $\gamma =\frac{C_p}{C_{{}_V}}$. У результаті розширення об’єм газу збільшився втричі.

Завдання

Знайти:

• а) показник політропи $n$;
• б) приріст внутрішньої енергії $\Delta U$ газу;
• в) роботу $A$, здійснювану газом;
• г) молярну теплоємність $C$ газу під час цього процесу.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. За умовою $\frac{p}{V}=const$.
2. Для політпропного процесу $P{V}^n=const$, отже $n=-1$.
3. Щоб знайти приріст внутрішньої енергії $\Delta U$:

$$\begin{array}{rl}& dU=C_{V}dT\\ & \Delta U=C_V\Delta T\\ & \\ & V{T}^{\frac{1}{n-1}}=\frac{V}{\sqrt{T}}=const\\ & T_1=T_0{\left(\frac{V_1}{V_0}\right)}^2=9T_0\\ & T_0=\frac{p_0{V}_0}{\nu R},C_V=\frac{\nu R}{\gamma -1}\\ & \\ & \Delta U=\frac{8p_0{V}_0}{\gamma -1}\end{array}$$

4. Робота в політропному процесі:

$$\begin{array}{rl}& \delta A=pdV\\ & A=\frac{1}{n-1}(p_0{V}_0-p_1{V}_1)\\ & p_1=\frac{V_1}{V_0}{p}_0=3p_0\\ & A=\frac{1}{-2}(p_0{V}_0-9p_0{V}_0)=4p_0{V}_0\end{array}$$

5. З задачі 2.79:

$$\begin{array}{rl}& C=R\frac{n-\gamma }{(n-1)(\gamma -1)}=\frac{R}{2}\cdot \frac{\gamma +1}{\gamma -1}\end{array}$$

Відповідь

а) $n=-1$

б) $\Delta U=8\frac{p_0{V}_0}{\gamma -1}$

в) $A=4p_0{V}_0$

г) $C=\frac{R}{2}\cdot \frac{\gamma +1}{\gamma -1}$