2.79

Умова

2.79

Знайти молярну теплоємність $C$ ідеального газу під час політропічного процесу. Показник політропи дорівнює $n$. Визначити, за яких значень $n$ теплоємність газу буде від’ємною.

Посилання на оригінал

Розв’язання

Варіант 1

1. За визначенням, показники політропи $n$ та адіабати $\gamma$:

$$\begin{array}{rl}& n=\frac{C-C_P}{C-C_V},\gamma =\frac{C_P}{C_V}\end{array}$$

2. Звідси, молярна теплоємність:

$$\begin{array}{rl}& C=\frac{n{C}_V-C_P}{n-1}=\frac{n-\gamma }{n-1}{C}_V=\frac{n-\gamma }{(n-1)(\gamma -1)}R\end{array}$$

Варіант 2

1. За визначенням політропного процесу $C=const$.
2. Тоді з першого закону термодинаміки випливає:

$$\begin{array}{rl}& CdT=dU+pdV\end{array}$$

3. Оскільки внутрішня енергія $U$ є функцією стану, то обравши незалежними термодинамічними змінними $T$ та $V$, можемо переписати рівняння:

$$\begin{array}{rl}& CdT=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right){|}_{V}dT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right){|}_{T}dV+p(T,V)dV\end{array}$$

4. Оскільки ми знаємо, що $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right){|}_V$:

$$\begin{array}{rl}& (C-C_V)dT=\text{cancelto}0\text{, за законом Джоуля}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right){|}_{T}dV+p(T,V)dV\end{array}$$

5. Якщо перейти до молярної теплоємності та $\nu =1\mathrm{mol}$:

$$\begin{array}{rl}& (c-c_V)dT=\frac{RT}{V}dV\\ & \\ & \frac{c-c_V}{R}\frac{dT}{T}-\frac{dV}{V}=0,\text{інтегруємо:}\\ & \\ & \frac{c-c_V}{R}\ln T-\ln V=const,\text{перенесемо в ступінь та експонуємо:}\\ & \\ & T^{\frac{c-c_V}{R}}{V}^{-1}=const\to T{V}^{\frac{R}{c_V-c}}=T{V}^{\frac{c_p-c_V}{c_V-c}}=const\end{array}$$

6. Якщо перейти до $P,V$:

$$\begin{array}{rl}& P{V}^{\frac{C-C_P}{C-C_V}}=const\end{array}$$

7. Оскільки рівняння політропи — $P{V}^n=const$, то:

$$\begin{array}{rl}& n=\frac{C-C_P}{C-C_V}\end{array}$$

8. Далі — за Варіант 1

Відповідь

1. Молярна теплоємність $C$ становить $\frac{n-\gamma }{(n-1)(\gamma -1)}R$
2. $C<0$, коли $\gamma >n>1$, тобто для усіх процесів між ізотермою та адіабатою