2.71

Умова

2.71

Закритий з обох кінців циліндр заповнений ідеальним газом. Усередині циліндра міститься легкорухомий поршень, який ділить його об’єм на дві рівні частини. Об’єм кожної половини циліндра дорівнює $V_0$ , тиск газу $p_0$ , маса поршня $m$, його площа $S$.

Завдання

Знайти період коливань $\tau$ поршня, що виникнуть, якщо трохи змістити поршень із положення рівноваги і потім відпустити.

Вважати, що об’єм і тиск газу пов’язані рівнянням політропи $p{V}^n=const$. Тертя поршня об стінки циліндра не враховувати.

Посилання на оригінал

Розв’язання

1. Нехай на початку поршень зміститься вправо на $\Delta x\ll l$, як показано на малюнку.
2. Тоді сума сил, що діє на поршень:

$$\begin{array}{rl}& m\ddot{x}=F_2-F_1=(p_2-p_1)S\end{array}$$

3. Оскільки об’єм і тиск газу пов’язані рівнянням політропи $p{V}^n=const$, то:

$$\begin{array}{rl}& p_0{V}_0^n=p_1{V}_1^n=p_2{V}_2^n\\ & \\ & p_1=p_0{\left(\frac{l}{l-x}\right)}^n\\ & \\ & p_2=p_0{\left(\frac{l}{l+x}\right)}^n\end{array}$$

4. Оскільки $\Delta x\ll l$, то:

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{l\pm x}\approx \frac{1}{l}\mp \frac{x}{l^2}=\frac{l\mp x}{l^2}\end{array}$$

5. Тоді тиски:

$$\begin{array}{rl}& p_1=\frac{p_0}{l^n}(l+x{)}^n,p_2=\frac{p_0}{l^n}(l-x{)}^n\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}m\ddot{x}& =\frac{p_{0}S}{l^n}[(l-x{)}^n-(l+x{)}^n]\underset{x\to 0}{=}-\frac{p_{0}S}{l^n}\cdot 2nx{l}^{n-1}=\\ & =-\frac{2nS{p}_{0}x}{l}\end{array}$$

6. Тоді циклічна частота коливань:

$$\begin{array}{rl}& {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{2nS{p}_0}{lm}}=S\sqrt{\frac{2n{p}_0}{m{V}_0}}\end{array}$$

7. Таким чином, період коливань:

$$\begin{array}{rl}& \tau =\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{2\pi }{S}\sqrt{\frac{m{V}_0}{2n{p}_0}}\end{array}$$

8. Перевіримо розмірність:

$$\begin{array}{rl}& [\tau ]=\frac{1}{{\mathrm{m}}^2}\cdot \sqrt{\frac{\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^3}{\mathrm{Pa}}}=\frac{1}{\mathrm{m}}\cdot \sqrt{\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^2}}}=\mathrm{s}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& \tau =\frac{\pi }{S}\sqrt{\frac{2m{V}_0}{n{p}_0}}\end{array}$$