2.4

Умова

2.4

Молекулярний пучок падає на стінку і відбивається від неї за законом абсолютно пружного удару. Знайти тиск $p$ молекулярного пучка на стінку, якщо швидкість молекул становить кут $\vartheta$ з нормаллю до стінки. Відомі маса $m$ і швидкість $v$ молекул, а також число молекул в одиниці об’єму $n$. Розглянути випадки:

• а) стінка нерухома;
• б) стінка рухається в напрямку своєї нормалі зі швидкістю $u$.

Посилання на оригінал

Розв’язання

а)

1. Тиск виникає внаслідок ударів молекул і становить:

$$\begin{array}{rl}& p=\frac{F}{S_h}\end{array}$$

2. Зміна імпульсу становить:

$$\begin{array}{rl}& F_{x}t=Mv\cos \vartheta -(-Mv\cos \vartheta )=2Mv\cos \vartheta ,\end{array}$$

де $M=Nm$ — маса $N$ молекул, $t$ — час, за який у стінку вдаряється $N$ молекул.

$$\begin{array}{rl}& N=nV=nSl=nSvt\\ & S=S_h\cos \vartheta \end{array}$$

3. Таким чином тиск:

$$\begin{array}{rl}& p=\frac{2mv\cos \vartheta \cdot n{S}_{h}v\cos \vartheta }{S_h}=2nm{v}^2{\cos }^2\vartheta \end{array}$$

б)

1. Перейдемо у систему відліку, пов’язану зі стінкою. У цій системі стінка лишається нерухомою, а під час пружного удару проєкції швидкості молекул не будуть змінюватися:

$$\begin{array}{rl}& v_{2x}^{\prime }=-v_{1x}^{\prime },\\ & \\ & v_{1x}^{\prime }=v_{1x}\mp u=-v\cos \vartheta \mp u\\ & v_{2x}^{\prime }=-v_{1x}^{\prime }=v\cos \vartheta \pm u\end{array}$$

2. Якщо повернутися до старої системи відліку, проєкція швидкості після удару становитиме:

$$\begin{array}{rl}& v_{2x}=v_{2x}^{\prime }\pm 2u=v\cos \vartheta \pm 2u\end{array}$$

3. Тоді зміна імпульсу у цьому випадку:

$$\begin{array}{rl}& F_{x}t=M(v\cos \vartheta \pm 2u-(-v\cos \vartheta ))=2M(v\cos \vartheta \pm u)\end{array}$$

4. Оскільки у системі відліку, пов’язаною зі стінкою, швидкість пучка змінилася, то число $N$ молекул, що вдаряється у стінку за час $t$:

$$\begin{array}{rl}& N=nSvt=nSt(v\cos \vartheta \pm u)\end{array}$$

5. А отже, тиск:

$$\begin{array}{rl}& p=2nm\cdot (v\cos \vartheta \pm u)\cdot (v\cos \vartheta \pm u)=2nm\cdot (v\cos \vartheta \pm u{)}^2\end{array}$$

При цьому, якщо стінка рухається від пучка зі швидкістю $u>v\cos \vartheta$, то частинки не наздоженуть стінку і не зіткнуться з нею, а отже у такому випадку $p=0$.

Відповідь

• а) $p=2nm{v}^2{\cos }^2\vartheta$
• б) $p=2nm(v\cos \vartheta \pm u{)}^2$, плюс — коли стінка рухається назустріч пучку, мінус — коли у протилежний бік